Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам просто необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.
По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике не разрешено. За использование калькулятора или мобильного телефона может быть начислен штраф в размере от трех до десяти тысяч рублей.
Передача более десяти в счетчике скорости
Повернув главный кривошип одиннадцать раз, одиннадцать добавляется к скорости. Калькуляторы, которые не передают более десятка в счетчике скорости, в этой ситуации перерисовываются красными цифрами, интерпретация которых требует большего интеллектуального усилия со стороны пользователя, и существует опасность численной ошибки. Передача через десятки счетчиков скорости может использоваться для уменьшения деления. Классический процесс разделения состоит в том, что мы делим делитель как можно больше раз от отклонения.
На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.
1 . Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.
Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:
666 2 
999 666 0
Как только мы дойдем до отрицательных чисел, мы вернем последний отсчет, переместим порядок и подсчитаем следующий шифр. Шаги, когда мы вычитаем отрицательные числа, могут быть сохранены, если мы наблюдаем момент, когда остаток деления меньше дивизора. На данный момент мы не будем отбрасывать калькулятор на отрицательные числа, но мы перейдем к следующей позиции. В этой процедуре мы должны вращать кривошип столько раз, сколько цифра находится в расчете каждой цифры. Если мы не будем наблюдать за остальными и просто дождитесь появления колокола, указывающего на переход к отрицательным числам, нам еще нужно сделать еще два дополнительных оборота.
Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле b 2 4ac
, после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на 333
. Получится
2 2 3 2 0
Какой способ проще? :-)
2 . Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.
Это может быть ускорено, если в счетчике скорости больше десяти. Если остальное численно велико, это означает, что следующая цифра будет большой, и мы должны считать ее в течение длительного времени. Лучше изменить процедуру, сначала вычитая дивизор из остальных. Это даст отрицательный результат, который мал по абсолютной величине. Затем мы переходим к следующему порядку, и вместо чтения мы начинаем добавлять. Это исправляет фигуру в предыдущей позиции, что было большим переходом на отрицательные числа.
Выбор способа подсчета положительных и отрицательных скоростей
В текущей расчетной позиции мы получаем цифру 9 за один оборот, рисунок 8 на двух скоростях. Благодаря передаче на счетчике скорости более десяти, подсчет фактически выполняется в регистре скорости. Для дальнейшего уточнения мы можем повторить метод. . Перед каждой операцией можно определить, будет ли счетчик подсчитываться в соответствии с регистром результатов, или наоборот, т.е. если один спин добавляется или вычитается в реестр результатов и тот же для чтения из регистра результатов. После сброса калькулятора калькулятор автоматически переключается на один из этих режимов.
385 7 300 7 80 7 5 7 2100 560 35 2660 35 2695
18 17 18 10 18 7 180 10 7 8 7 180 70 56 250 56 306
Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.
3 . Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить 9450 на 2100 . Но вспомним, что знак деления: и дробная черта – одно и то же. Запишем 9450: 2100 в виде дроби и сократим дробь:
Другой пример.
4 . Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:
(а+b) 2 а 2 2ab b 2
23 2 (20+3) 2 20 2 2 20 3 3 2 400 120 9 529
39 2 (30 9) 2 30 2 2 30 9 9 2 900 540 81 1521
44 2 (40 4) 2 40 2 2 40 4 4 2 1600 320 16 1936.
Иногда удобно использовать и другую формулу:
(а-b) 2 = а 2 - 2ab b 2
78 2 = (80 – 2) 2 = 6400 – 320 4 = 6084
89 2 = (90 – 1) 2 = 8100 – 180 1 = 7201
5 . Числа, оканчивающиеся на 5 , в квадрат возводятся моментально.
Допустим, надо найти квадрат числа А5 (А - не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем А на А+1 и к результату приписываем 25 . Всё!
Например: 45 2 2025 (4 5 20 и приписали 25 ).
65 2 4225 (6 7 42 и приписали 25 ).
125 2 15625 (12 13 156 и приписали 25 ).
Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на 25 .
6 . А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.
Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.
Например, найдем
Число 6561
делится на 3
(так как сумма его цифр делится на 3
). Разложим 6561
на множители:
6561 3 3 3 3 81 81 81
81
Найдем . Это число делится на 2
. На 3
оно тоже делится. Раскладываем 2916
на множители.
Еще пример.
Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.
Например, надо найти . Число под корнем – нечетное, оно не делится на 3 , не делится на 5 , не делится на 7 ... Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.
Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80 , поскольку 70 2 4900, 80 2 6400 , а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7 .
Последняя цифра в числе 5041
равна 1
. Поскольку 1 2
1
, 9 2
81
, последняя цифра в ответе – либо 1
, либо 9
. Проверим:
71 2 (70 1) 2 4900 140 1 5041
. Получилось!
Найдем .
50 2 2500, 60 2 3600 . Значит, первая цифра в ответе – пятерка.
В числе 2809 последняя цифра – девятка. 3 2 9 , 7 2 49 . Значит, последняя цифра в ответе – либо 3 , либо 9 .
Проверим:
53 2 (50 3) 2 2500 300 9 2809
.
Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на 2, 3, 7 или 8 – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на 2, 3, 7 или 8 . Помните, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.
7 . Квадратные уравнения встречаются нам в задачах В5 , В12 и В13 вариантов ЕГЭ, а также в части С . В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.
Например, в уравнении
8
. Иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения: a 2 b 2 (ab)(ab)
. Вот, например, такое уравнение вполне может получиться при решении задачи В12
:
9 . Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи В4 .
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39 , один из катетов равен 36 , найти второй катет.
По теореме Пифагора, он равен . Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения.
А теперь расскажем самое интересное - из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.
1 . Верный путь к потере баллов - неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? :-)
Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.
2 . Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это 1) очень-очень быстро, 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и 3) карандашом. В результате получается вот что:
Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что оценка за ЕГЭ ниже, чем ожидали?
3 . Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:
Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.
4
. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что 
.
Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь. Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.
Подведем итоги.
Проверка заданий части В – автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.
Задания части С проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.